3.193 \(\int \frac{(e+f x) \sin ^3(c+d x)}{a+a \sin (c+d x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=158 \[ \frac{f \sin ^2(c+d x)}{4 a d^2}-\frac{f \sin (c+d x)}{a d^2}-\frac{2 f \log \left (\sin \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}+\frac{\pi }{4}\right )\right )}{a d^2}+\frac{(e+f x) \cos (c+d x)}{a d}+\frac{(e+f x) \cot \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}+\frac{\pi }{4}\right )}{a d}-\frac{(e+f x) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 a d}+\frac{3 e x}{2 a}+\frac{3 f x^2}{4 a} \]

[Out]

(3*e*x)/(2*a) + (3*f*x^2)/(4*a) + ((e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*d) + ((e + f*x)*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d)
- (2*f*Log[Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]])/(a*d^2) - (f*Sin[c + d*x])/(a*d^2) - ((e + f*x)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d
*x])/(2*a*d) + (f*Sin[c + d*x]^2)/(4*a*d^2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.219706, antiderivative size = 158, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 11, number of rules used = 7, integrand size = 26, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.269, Rules used = {4515, 3310, 3296, 2637, 3318, 4184, 3475} \[ \frac{f \sin ^2(c+d x)}{4 a d^2}-\frac{f \sin (c+d x)}{a d^2}-\frac{2 f \log \left (\sin \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}+\frac{\pi }{4}\right )\right )}{a d^2}+\frac{(e+f x) \cos (c+d x)}{a d}+\frac{(e+f x) \cot \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}+\frac{\pi }{4}\right )}{a d}-\frac{(e+f x) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 a d}+\frac{3 e x}{2 a}+\frac{3 f x^2}{4 a} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((e + f*x)*Sin[c + d*x]^3)/(a + a*Sin[c + d*x]),x]

[Out]

(3*e*x)/(2*a) + (3*f*x^2)/(4*a) + ((e + f*x)*Cos[c + d*x])/(a*d) + ((e + f*x)*Cot[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2])/(a*d)
- (2*f*Log[Sin[c/2 + Pi/4 + (d*x)/2]])/(a*d^2) - (f*Sin[c + d*x])/(a*d^2) - ((e + f*x)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d
*x])/(2*a*d) + (f*Sin[c + d*x]^2)/(4*a*d^2)

Rule 4515

Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbo
l] :> Dist[1/b, Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^(n - 1), x], x] - Dist[a/b, Int[((e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^(n - 1)
)/(a + b*Sin[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

Rule 3310

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(d*(b*Sin[e + f*x])^n)/(f^2*n
^2), x] + (Dist[(b^2*(n - 1))/n, Int[(c + d*x)*(b*Sin[e + f*x])^(n - 2), x], x] - Simp[(b*(c + d*x)*Cos[e + f*
x]*(b*Sin[e + f*x])^(n - 1))/(f*n), x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1]

Rule 3296

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[((c + d*x)^m*Cos[e + f*x])/f, x] +
Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cos[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2637

Int[sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Sin[c + d*x]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 3318

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[(2*a)^n, Int[(c
+ d*x)^m*Sin[(1*(e + (Pi*a)/(2*b)))/2 + (f*x)/2]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[a^2
- b^2, 0] && IntegerQ[n] && (GtQ[n, 0] || IGtQ[m, 0])

Rule 4184

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((c + d*x)^m*Cot[e + f*x])/f, x]
+ Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cot[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 3475

Int[tan[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[Log[RemoveContent[Cos[c + d*x], x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(e+f x) \sin ^3(c+d x)}{a+a \sin (c+d x)} \, dx &=\frac{\int (e+f x) \sin ^2(c+d x) \, dx}{a}-\int \frac{(e+f x) \sin ^2(c+d x)}{a+a \sin (c+d x)} \, dx\\ &=-\frac{(e+f x) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a d}+\frac{f \sin ^2(c+d x)}{4 a d^2}+\frac{\int (e+f x) \, dx}{2 a}-\frac{\int (e+f x) \sin (c+d x) \, dx}{a}+\int \frac{(e+f x) \sin (c+d x)}{a+a \sin (c+d x)} \, dx\\ &=\frac{e x}{2 a}+\frac{f x^2}{4 a}+\frac{(e+f x) \cos (c+d x)}{a d}-\frac{(e+f x) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a d}+\frac{f \sin ^2(c+d x)}{4 a d^2}+\frac{\int (e+f x) \, dx}{a}-\frac{f \int \cos (c+d x) \, dx}{a d}-\int \frac{e+f x}{a+a \sin (c+d x)} \, dx\\ &=\frac{3 e x}{2 a}+\frac{3 f x^2}{4 a}+\frac{(e+f x) \cos (c+d x)}{a d}-\frac{f \sin (c+d x)}{a d^2}-\frac{(e+f x) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a d}+\frac{f \sin ^2(c+d x)}{4 a d^2}-\frac{\int (e+f x) \csc ^2\left (\frac{1}{2} \left (c+\frac{\pi }{2}\right )+\frac{d x}{2}\right ) \, dx}{2 a}\\ &=\frac{3 e x}{2 a}+\frac{3 f x^2}{4 a}+\frac{(e+f x) \cos (c+d x)}{a d}+\frac{(e+f x) \cot \left (\frac{c}{2}+\frac{\pi }{4}+\frac{d x}{2}\right )}{a d}-\frac{f \sin (c+d x)}{a d^2}-\frac{(e+f x) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a d}+\frac{f \sin ^2(c+d x)}{4 a d^2}-\frac{f \int \cot \left (\frac{c}{2}+\frac{\pi }{4}+\frac{d x}{2}\right ) \, dx}{a d}\\ &=\frac{3 e x}{2 a}+\frac{3 f x^2}{4 a}+\frac{(e+f x) \cos (c+d x)}{a d}+\frac{(e+f x) \cot \left (\frac{c}{2}+\frac{\pi }{4}+\frac{d x}{2}\right )}{a d}-\frac{2 f \log \left (\sin \left (\frac{c}{2}+\frac{\pi }{4}+\frac{d x}{2}\right )\right )}{a d^2}-\frac{f \sin (c+d x)}{a d^2}-\frac{(e+f x) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a d}+\frac{f \sin ^2(c+d x)}{4 a d^2}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 1.46918, size = 298, normalized size = 1.89 \[ \frac{\left (\sin \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )+\cos \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )\right ) \left (\sin \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right ) \left (2 \left (-3 c^2 f-d (e+f x) \sin (2 (c+d x))+6 c d e-4 f \sin (c+d x)-8 f \log \left (\sin \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )+\cos \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )\right )+4 c f+6 d^2 e x+3 d^2 f x^2-8 d e-4 d f x\right )+8 d (e+f x) \cos (c+d x)-f \cos (2 (c+d x))\right )+\cos \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right ) \left (2 \left (-3 c^2 f-d (e+f x) \sin (2 (c+d x))+6 c d e-4 f \sin (c+d x)-8 f \log \left (\sin \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )+\cos \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )\right )+4 c f+6 d^2 e x+3 d^2 f x^2+4 d f x\right )+8 d (e+f x) \cos (c+d x)-f \cos (2 (c+d x))\right )\right )}{8 a d^2 (\sin (c+d x)+1)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[((e + f*x)*Sin[c + d*x]^3)/(a + a*Sin[c + d*x]),x]

[Out]

((Cos[(c + d*x)/2] + Sin[(c + d*x)/2])*(Sin[(c + d*x)/2]*(8*d*(e + f*x)*Cos[c + d*x] - f*Cos[2*(c + d*x)] + 2*
(-8*d*e + 6*c*d*e + 4*c*f - 3*c^2*f + 6*d^2*e*x - 4*d*f*x + 3*d^2*f*x^2 - 8*f*Log[Cos[(c + d*x)/2] + Sin[(c +
d*x)/2]] - 4*f*Sin[c + d*x] - d*(e + f*x)*Sin[2*(c + d*x)])) + Cos[(c + d*x)/2]*(8*d*(e + f*x)*Cos[c + d*x] -
f*Cos[2*(c + d*x)] + 2*(6*c*d*e + 4*c*f - 3*c^2*f + 6*d^2*e*x + 4*d*f*x + 3*d^2*f*x^2 - 8*f*Log[Cos[(c + d*x)/
2] + Sin[(c + d*x)/2]] - 4*f*Sin[c + d*x] - d*(e + f*x)*Sin[2*(c + d*x)]))))/(8*a*d^2*(1 + Sin[c + d*x]))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.149, size = 662, normalized size = 4.2 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((f*x+e)*sin(d*x+c)^3/(a+a*sin(d*x+c)),x)

[Out]

3/a*e/d*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))+2/a*e/d/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)+1/2/a*f/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)/(tan(1/2*d*
x+1/2*c)+1)*x^2+1/a*f/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)*x/d+1/2/a*f/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)/(ta
n(1/2*d*x+1/2*c)+1)*x^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)+1/2/a*f/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)*x^2*tan(1/2
*d*x+1/2*c)^2+1/2/a*f/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)*x^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3-1/a*f/(1+tan(1/
2*d*x+1/2*c)^2)/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)*x/d*tan(1/2*d*x+1/2*c)+1/a*f/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)/(tan(1/2*d*x+1/2*
c)+1)*x/d*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-1/a*f/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)*x/d*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3-
2/a*f/d^2*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)+1/a*f/d^2*ln(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)+1/a*e/d/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*tan
(1/2*d*x+1/2*c)^3+2/a*e/d/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-1/a*e/d/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*t
an(1/2*d*x+1/2*c)+2/a*e/d/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2-1/2/a*f/d*sin(d*x+c)*cos(d*x+c)*x+1/4*f*x^2/a-1/4/a*f/d^2
*c^2+1/4*f*sin(d*x+c)^2/a/d^2-f*sin(d*x+c)/a/d^2+1/a*f/d*cos(d*x+c)*x

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: RuntimeError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x+e)*sin(d*x+c)^3/(a+a*sin(d*x+c)),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: RuntimeError

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 1.88373, size = 625, normalized size = 3.96 \begin{align*} \frac{6 \, d^{2} f x^{2} + 2 \,{\left (2 \, d f x + 2 \, d e - f\right )} \cos \left (d x + c\right )^{3} + 2 \,{\left (4 \, d f x + 4 \, d e + 3 \, f\right )} \cos \left (d x + c\right )^{2} + 8 \, d e + 4 \,{\left (3 \, d^{2} e + 2 \, d f\right )} x +{\left (6 \, d^{2} f x^{2} + 12 \, d e + 12 \,{\left (d^{2} e + d f\right )} x + f\right )} \cos \left (d x + c\right ) - 8 \,{\left (f \cos \left (d x + c\right ) + f \sin \left (d x + c\right ) + f\right )} \log \left (\sin \left (d x + c\right ) + 1\right ) +{\left (6 \, d^{2} f x^{2} - 2 \,{\left (2 \, d f x + 2 \, d e + f\right )} \cos \left (d x + c\right )^{2} - 8 \, d e + 4 \,{\left (3 \, d^{2} e - 2 \, d f\right )} x + 4 \,{\left (d f x + d e - 2 \, f\right )} \cos \left (d x + c\right ) - 7 \, f\right )} \sin \left (d x + c\right ) - 7 \, f}{8 \,{\left (a d^{2} \cos \left (d x + c\right ) + a d^{2} \sin \left (d x + c\right ) + a d^{2}\right )}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x+e)*sin(d*x+c)^3/(a+a*sin(d*x+c)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/8*(6*d^2*f*x^2 + 2*(2*d*f*x + 2*d*e - f)*cos(d*x + c)^3 + 2*(4*d*f*x + 4*d*e + 3*f)*cos(d*x + c)^2 + 8*d*e +
4*(3*d^2*e + 2*d*f)*x + (6*d^2*f*x^2 + 12*d*e + 12*(d^2*e + d*f)*x + f)*cos(d*x + c) - 8*(f*cos(d*x + c) + f*
sin(d*x + c) + f)*log(sin(d*x + c) + 1) + (6*d^2*f*x^2 - 2*(2*d*f*x + 2*d*e + f)*cos(d*x + c)^2 - 8*d*e + 4*(3
*d^2*e - 2*d*f)*x + 4*(d*f*x + d*e - 2*f)*cos(d*x + c) - 7*f)*sin(d*x + c) - 7*f)/(a*d^2*cos(d*x + c) + a*d^2*
sin(d*x + c) + a*d^2)

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 9.98242, size = 4869, normalized size = 30.82 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x+e)*sin(d*x+c)**3/(a+a*sin(d*x+c)),x)

[Out]

Piecewise((18*d**2*e*x*tan(c/2 + d*x/2)**5/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24
*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 18*d**
2*e*x*tan(c/2 + d*x/2)**4/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 +
d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 36*d**2*e*x*tan(c/2 + d
*x/2)**3/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a
*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 36*d**2*e*x*tan(c/2 + d*x/2)**2/(12*a*d*
*2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d
*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 18*d**2*e*x*tan(c/2 + d*x/2)/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)*
*5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2
*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 18*d**2*e*x/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 +
24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 9*d*
*2*f*x**2*tan(c/2 + d*x/2)**5/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c
/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 9*d**2*f*x**2*tan(c
/2 + d*x/2)**4/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3
+ 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 18*d**2*f*x**2*tan(c/2 + d*x/2)**3
/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*ta
n(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 18*d**2*f*x**2*tan(c/2 + d*x/2)**2/(12*a*d**2*ta
n(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)
**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 9*d**2*f*x**2*tan(c/2 + d*x/2)/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5
+ 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*ta
n(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 9*d**2*f*x**2/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 2
4*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 36*d*
e*tan(c/2 + d*x/2)**5/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x
/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 36*d*e*tan(c/2 + d*x/2)**3/
(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan
(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 12*d*e*tan(c/2 + d*x/2)**2/(12*a*d**2*tan(c/2 + d
*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*
a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 24*d*e*tan(c/2 + d*x/2)/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(
c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) +
12*a*d**2) + 12*d*e/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/
2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 24*d*f*x*tan(c/2 + d*x/2)**5
/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*ta
n(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 12*d*f*x*tan(c/2 + d*x/2)**4/(12*a*d**2*tan(c/2
+ d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 +
12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 12*d*f*x*tan(c/2 + d*x/2)**3/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d
**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 +
d*x/2) + 12*a*d**2) + 12*d*f*x*tan(c/2 + d*x/2)**2/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)
**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2)
- 12*d*f*x*tan(c/2 + d*x/2)/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2
+ d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 24*d*f*x/(12*a*d**2*t
an(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2
)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 24*f*log(tan(c/2 + d*x/2) + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**5/(12*a*d**2
*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x
/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 24*f*log(tan(c/2 + d*x/2) + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**4/(12*a*d*
*2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d
*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 48*f*log(tan(c/2 + d*x/2) + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**3/(12*a*
d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 +
d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 48*f*log(tan(c/2 + d*x/2) + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**2/(12*
a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2
+ d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 24*f*log(tan(c/2 + d*x/2) + 1)*tan(c/2 + d*x/2)/(12*a
*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2
+ d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 24*f*log(tan(c/2 + d*x/2) + 1)/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*
x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a
*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 12*f*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**5/(12*a*d**2*tan(c/2
+ d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 +
12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 12*f*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**4/(12*a*d**2*ta
n(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)
**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 24*f*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**3/(12*a*d*
*2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d
*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 24*f*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**2/(12
*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/
2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 12*f*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)/(
12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(
c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 12*f*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)/(12*a*d**2*tan(c
/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2
+ 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 4*f*tan(c/2 + d*x/2)**5/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**
2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*
x/2) + 12*a*d**2) - 20*f*tan(c/2 + d*x/2)**4/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 +
24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 4*f*
tan(c/2 + d*x/2)**3/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2
)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 4*f*tan(c/2 + d*x/2)**2/(12*a
*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2
+ d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) - 20*f*tan(c/2 + d*x/2)/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 +
12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan
(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2) + 4*f/(12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*a*d**2*ta
n(c/2 + d*x/2)**3 + 24*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 12*a*d**2*tan(c/2 + d*x/2) + 12*a*d**2), Ne(d, 0)), ((e*x
+ f*x**2/2)*sin(c)**3/(a*sin(c) + a), True))

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x+e)*sin(d*x+c)^3/(a+a*sin(d*x+c)),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out